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六十四章 古代印度的数学
书名：印度的发现 作者：贾瓦哈拉尔.尼赫鲁 更新时间：2019-07-24 09:43 字数：4330
古代印度人既然具有高度的智慧又热爱抽象的思想，人们自然能够期望他们在数学上有卓越的成就。欧洲从阿拉伯人学得初期的算术和代数——所以有“阿拉伯数字”的名称——但是，阿拉伯人实在是先从印度人那里学来的。印度人在数学方面的惊人进步，现在已为众所周知；人们承认现代算术和代数学的基础很早以前在印度就奠定了。用计算架的呆笨方法和用罗马数字那一类的数字来做计算，长期地阻碍了进步。一直等到包括“零”（○）的符号在内的十个印度数字才把人类的智力从这些束缚中解放出来，并在数字的功用上大放光明。这十个数字符号是独特无双的，与别国所曾使用过的一切符号完全不同。它们在今天是很普通而视为当然的了；不过在那时，它们之中确实孕育着带有革命性的进步萌芽。经过若干世纪后，它们才从印度经由巴格达传到了西方各国。
一百五十年前在拿破仑时代，拉普拉斯写道：“印度赋予我们一种用十个数字符号来表达所有数目的巧妙方法，每个符号有它所占位置上的价值，也有它本身的绝对价值。这是一个深奥而重要的概念，但是现在看来，它表面上这样简单，以致我们忽视了它那真正的好处。正因为它是这样的简单并使得一切计算非常容易，所以使得我们的算术在有用的发明之中居了第一流的地位。若想到古代最伟大的天才中的两个人物阿基米德和阿坡罗尼阿斯并没有这种发明，我们就更感到那个成就的伟大了。”bz
几何、算术、代数在印度是起源自遥远的时代的。可能最初开始时是一种建造吠陀祭坛时制图所用的几何代数。在最古老的书中曾经提到过用几何方法把一个正方形改为一个已知一边的长方形；ax=c。在今天的印度仪式中，这种几何图形还是极普遍地被使用着。几何在印度虽有进步，但希腊和亚历山大城在这方面的进步超过了印度。在算术和代数方面印度保持了领导地位。究竟哪一个人或哪几个人发明了这十进位制和符号“零”（○），还不知道。就现在已经发现的来说，“零”这个符号的最早使用是在公元前约二百年的一部经典中发现的。人们认为很可能，进位制发明于大约耶稣纪元初期。“零”叫作“舜若”（shunya）或空无所有，本来是写成一点的，后来才变成一个小圈。它和其他的数字一样也是一个数字。贺尔斯特德教授曾强调这个发明的非常重要性，他说道：“创造零的符号的重要性，绝不是夸大的。对于这个空虚无物的东西，不仅给予一个地位、一个名称、一个形象、一个符号，并且还给予一个有用的权能，这正是它的发明者印度种族的特点，这简直好像是把涅槃造成了发动机。没有任何数学上的一种创造发明对于智慧和才能的一般进步能比这种发明有重大的后果。”ca
另外一位现代数学家对于这历史性的大事，极为称颂。谭济克在他所著的《论数》一书中写道：“在五千年左右的悠久时期中，许多文明先后兴起和崩溃，而每种文明都将自己的文学、艺术、哲学和宗教传给后世。但是人类在计算上，即最早实用艺术上，究竟有什么实在成就呢？呆板的命数方法是如此粗糙浅薄，以致进步几于不可能，计算的方法范围之狭隘使粗浅的计算甚至也要专家来服务……几千年来，人类使用这些方法，一点也没有作过有价值的改善，一点也没有在运算法中贡献过重要的概念……甚至与中世纪黑暗时代思想发展迟滞的情形相比，计算方面的历史还是特别显得毫无生气。照这种情形看来，那些印度无名英雄在公元初期几世纪中所发明的定位算法原理实在具有世界大事的重要性。”cb
许多伟大的希腊数学家为什么没有发明这个原理，这是谭济克深感迷惑不解的。他说：“是不是希腊人对于实用科学如此轻视，以致把教育子女的事情都交给奴隶了呢？如果是这样的话，那么希腊既发明了几何学并且在这门科学上有过高度进步，为什么连初步的代数学也创造不出来呢？现代的数学的基石——代数学，也是在印度创造出来的，并且是和定位法约在同时发明的；这岂不是也同样奇怪吗？
这个问题的答案可以在郝格本教授下面一段话中找到：“为什么那个方法是印度人想出来的呢？为什么欧洲古代数学家没有想到呢？为什么最先想到的是注重实际工作的人们呢？这是难于理解的。如果我们只在少数天才人物的智慧进步中求解答，而忽视那左右着最伟大的天才的整个社会机构中的习惯和思想，要解释这些问题就有不可克服的障碍。公元一百年左右印度所发生的事情，以前也发生过。可能现在苏联也正在发生。……若要接受这个真理，就是要承认每一种文化之中都包含着有它自己的毁灭，除非那种文化对于教育人类群众和教育特殊天才同样地重视和关怀。”cc
我们必须认定，这些重要的发明并非单纯地由于一个怪杰的一时灵感而作的超时代的行为，它们本质上是社会环境的产物，而且是适应时代的坚决要求的。要找出这种需要，要满足这种要求当然要有高等的天才；不过假使没有这种要求，就不会有促使寻求出路的推动力。即使有了发明，如果适合于应用这种发明的环境还未到临，它也会被遗忘或抛弃的。从早期梵文数学书中可以看出，那种要求是存在着的，因为这些书中尽是些涉及复杂计算的通商和社会关系的问题。例如租税、债务及利息问题；合伙、实物交换、兑换和黄金成色的计算问题。社会日见复杂，大量人员参加政府工作或从事于广泛的贸易。如果没有简捷的计算方法，他们是不可能继续他们的工作的。
印度采用的“零”和十进位制打开了智力的大门，使算术和代数学可以迅速进步。随之而来的是分数，分数的乘法和除法；比例法的发现与完成；平方和平方根（连同平方根符号√）；立方和立方根；减号；三角的正弦表；圆周率（π）定为3．1416；代数中使用字母来表示未知数；一次方程式和二次方程式的研究；零的数学意义的研讨。“零”是这样解释的：a减a等于零（a-a=0）；a加零等于a（a+0=a）；a减零等于a（a-0=a）；a乘以零等于零（a×0=0）；a除以零得无限。负数的概念也发明了；所以4的平方根是正2或负2，它是这样：√4=±2。
以上和其他许多数学上的进步，可以在公元五世纪到十二世纪时代一连串卓越的数学家所著的书籍中看到。有些更早期的书籍（公元前八世纪左右的蒲达耶那、公元前五世纪左右的阿帕斯坦巴和迦旃衍那）也曾讨论过几何学上的问题，尤其是三角形、长方形和正方形。现存的一本最早的讨论代数学的书是著名天文学家亚雅巴达所著。他生于公元476年。他只有二十三岁时就著了这部关于天文和数学的书。有时人们称他为代数学的发明人。在写作中他至少有一部分是依靠前人的著作。在印度数学上第二位伟大人物是巴斯卡拉一世（公元522年）；继他而起的是婆罗摩笈多（公元628年）。婆罗摩笈多也是一位出名的天文家，他写出了关于“舜若”或“零”的定律并作出了其他有名的贡献。此后还有许多数学家相继而起，写了些关于算术和代数学的著作。最后一位伟大的名人是生于公元114年的巴斯卡拉二世，他写了三本书——天文、代数学和算术。他那本算术书叫作《利拉瓦提》。对于一本讨论数学的书来说，这倒是一个奇怪的名字，因为它是一个女人的名字。书中常常提到一个幼女，她常常被呼为“啊，利拉瓦提！”而书中的问题就是向她讲的。人们相信利拉瓦提是巴斯卡拉的女儿，不过并无确切的证据。这书的文体清楚简单，幼年人读书易于了解。在梵文学校中，这本书现在还是被采用着，部分理由是为了它的浅易清楚的文体。
数学书籍继续出现（公元1150年的那罗衍那；公元1545年的加涅沙），可是这些只是重复前人的著作而已。从公元十二世纪直到近代，在印度很少有关于数学的有创造性的著作。
公元八世纪哈里发曼苏尔（公元753—774年，在位的时期中，许多印度学者前往巴格达，在他们所带的书籍中有关于数学和天文学的著述。印度数字可能在更早的时期就已到了巴格达，不过第一次有系统的传播是在这个时期。亚雅巴达和别人所著的书也译成了阿拉伯文。这些书对于阿拉伯世界的数学和天文发展影响极大；印度数字也传入了阿拉伯。在当时，巴格达是一个大的学术中心，希腊和犹太学者带了希腊哲学、几何学和科学聚汇于此。整个伊斯兰教势力圈从中部亚细亚到西班牙都受到了巴格达文化的影响；用阿拉伯文译出的印度数学方面的知识也传遍了这个广大的区域。阿拉伯人把数字叫作“印度数字”（“Figures of Hind”），阿拉伯文字中的数字是“兴德萨”（Hindsah），意思就是“从印度来的”（From Hind）。
新的数学就从阿拉伯势力圈、也许是通过西班牙摩尔人的大学（Moorish Universities of Spain）传入欧洲，为欧洲数学打下了基础。使用新的数字在欧洲曾遭到反对，因为它们被认作异教徒的数字；经过数百年之后，这些新数字才得到普遍的使用。据现在知道的，最早是在1134年的西西里货币上用过；英国最早的使用是在1490年。
这点似乎是很清楚的，关于印度数学的一些知识，特别是关于数字位值的知识，甚至在正式使节将书带到巴格达之前就已深入西部亚细亚。一位叙利亚的僧侣学者，因希腊学者傲慢自大、轻视叙利亚人而深为不悦，作了不平之鸣；其中有一段很有趣味的记载。塞弗拉斯·塞柏克特是他的名字，他住在幼发拉底河畔的寺院中。在公元662年所写的那篇文章中，他企图指出，不论在哪方面，叙利亚人并不在希腊人之下。为了要举出实例，他提到了印度人；他说道：“我将避免讨论印度人的科学，他们和叙利亚人不同。我不去讨论他们在天文科学中的微妙的发现，那要比希腊人和巴比偷人的发现更为巧妙；他们的难于形容的计算方法我也不加讨论。我只想指出：这种计算方法是用九个符号来做的。如果有一般人认为他们能说希腊话就自以为达到了科学的顶点，假如他们知道了印度人的计算法，他们就会确信还有别的人也懂得一些东西的。”cd
谈到印度的数学就不能不令人想到近代的一个非凡的人物——斯里尼瓦萨·罗摩努占。他出生于印度南部一个贫穷的婆罗门家庭，没有机会去受适当的教育，只得在马德拉斯商埠企业联合所充当书记。但他那无可抑制的本能天才随时流露，在空闲时间他总在玩着数字和方程式。由于一个幸运的机会，他引起了一位数学家的注意，这位数学家就把他的一部分业余作品寄往英国剑桥大学。大学方面对他的印象很好，为他安排一笔奖学金。于是，他离开书记工作而入剑桥大学。在一个很短的期间内，他做出了有很大价值和惊人创造性的成绩。英国皇家学会破例任他为会员。可惜两年后，当他三十三岁时，大约是由于肺病而死去了。我记得，朱里安·赫胥黎教授曾在某处称他为本世纪最伟大的数学家。
罗摩努占的短促的一生和过早的死亡正可以代表印度的情况。在我们广大人民之中能受到一点教育的何其少，因饥饿而在死亡边缘上挣扎的何其多；就是在那些受到一点教育的人们中，除充当薪金远比英国失业人员救济金为少的机关小职员外，别无其他指望的人为数又何其多。倘若生活向他们开门，给予他们粮食、教育、健康的生活条件和成长发展的机会，那么在这庞大群众中，将会出现多少卓越的科学家、教育家、技术员、实业家、作家和艺术家来协助建设新印度和新世界啊！
